danh mục các ký hiệu
SL(n,
R
): nhóm các ma trận có định thức bằng một,
GL(n,
R
): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực,
A
: hàm Hamilton ứng với
A G
,
C
(M)[[]]
: không gian các chuỗi luỹ thừa hình thức theo
hệ số là
các hàm trên M,
C
0
: không gian các hàm khả vi vô hạn giá compact,
F
p
(f)
: biến đổi Fourier bộ phận theo biến p,
G
,
g
: nhóm Lie và đại số Lie của nhóm Lie,
=
F
: quỹ đạo đối phụ hợp đi qua F,
K=CoAd: tác động đối phụ hợp,
l
A
: toán tử l}ợng tử t}ơng thích,
s
-grad: gradient phản đối xứng,
(,)
: bản đồ t}ơng thích,
: ma trận symplectic ứng với dạng symplectic
,
A
:tr}ờng véc tơ bất biến sinh bởi A.
4
0.1
mở đầu
0.1.1 Xuất xứ và lịch sử của vấn đề
Lý thuyết biểu diễn là một trong những lãnh vực quan trọng mà giữ một
vai trò cốt yếu trong rất nhiều h}ớng nghiên cứu của toán học và vật lý
nh}: giải tích điều hoà trừu t}ợng, lý thuyết số, nhóm đại số, cơ học l}ợng
tử, vật lý các hạt cơ bản, lý thuyết tr}ờng l}ợng tử, hình học đại số, nhóm
l}ợng tử Sự phát triển của nó có thể chia làm nhiều giai đoạn.
Giai đoạn đầu tiên của lý thuyết biểu diễn ra đời vào những năm 1920
cùng với những tên tuổi của G. Frobenius, Schur, Molin. Thời kỳ này,
ng}ời ta chỉ quan tâm tới các nhóm hữu hạn cùng với các biểu diễn hữu
hạn chiều. Giai đoạn này cũng đánh dấu sự khai sinh của các khái niệm
nh} đặc tr}ng, toán tử bện và biểu diễn bất khả quy mà sau đó đã trở
thành các khái niệm cơ bản của lý thuyết biểu diễn.
Giai đoạn thứ hai đ}ợc đánh dấu bởi sự xuất hiện của lý thuyết biểu
diễn nhóm compact. Kết quả quan trọng trong thời kỳ này là định lý
Haar-Von Neumann về sự tồn tại của độ đo bất biến và định lý F. Peter-H.
Weyl về sự đầy đủ của biểu diễn hữu hạn chiều. Tuy nhiên phải đến thời
kỳ thứ ba, bắt đầu từ những năm 1940, lý thuyết biểu diễn mới đạt d}ợc
những thành công rực rỡ với các biểu diễn unita vô hạn chiều. Có thể nói
thời kỳ này đ}ợc bắt đầu bởi công trình của Gelfand và Raikov về tính
đầy đủ của hệ các biểu diễn unita bất khả quy của một nhóm compact
địa ph}ơng bất kỳ. Cùng lúc đó, Von Neumann cũng đã hoàn thành công
trình của mình về đại số toán tử. Chỉ một thời gian ngắn sau, lý thuyết
đại số Von-Neumann đ}ợc thống nhất với lý thuyết biểu diễn nhóm trong
các bài báo của G. M. Adelson, Mautner và Godement.
Một cách tự nhiên bài toán quan trọng nhất của lý thuyết biểu diễn là
bài toán phân loại biểu diễn mà ng}ời ta còn gọi là bài toán về đối ngẫu
unita.
Bài toán về đối ngẫu unita
: Cho tr}ớc một nhóm G. Hãy phân loại tất
cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một phép đẳng cấu).
Định lý đầu tiên về sự phân loại nhận đ}ợc vào năm 1947 bởi I. M.
Gelfand và M. A. Naimark [26]. Từ đó tới nay, ng}ời ta cũng đã xây dựng
đ}ợc một số ph}ơng pháp nhằm thu đ}ợc lời giải của bài toán đối ngẫu
unita nói trên. Với nhóm G là nhóm SL(2,
R
), bài toán đối ngẫu unita đã
đ}ợc giải quyết. Ng}ời ta chứng minh đ}ợc rằng, lớp các biểu diễn unita
bất khả quy của G gồm biểu diễn chuỗi chính, chuỗi rời rạc và chuỗi bổ
sung, xem [33].
Một trong những cách tiếp cận hiện đại của bài toán này là nhìn nhận
5
vấn đề theo quan điểm về tính đối xứng trong cơ học l}ợng tử và hình
học không giao hoán.
Trong cơ học cổ điển, không gian pha là một đa tạp symplectic hay
tổng quát hơn là một đa tạp Poisson. Khái niệm đa tạp Poisson là một
khái niệm mới, đ}ợc đặt ra vào những năm 1976 một cách độc lập bởi
A. Kirillov và A. Lichnerowicz và đã trở thành trung tâm của vật lý toán
hiện đại trong khoảng m}ời lăm năm gần đây.
Thông th}ờng, một đối t}ợng toán học đ}ợc xác định thông qua đại số
hàm của nó. Ví dụ, một đa tạp trơn đ}ợc xác định hoàn toàn bởi đại số
các hàm trơn trên nó, một đa tạp đại số affine đ}ợc xác định bởi vành toạ
độ của nó, một không gian compact địa ph}ơng đ}ợc xác định bởi đại số
các hàm liên tục trên đó và một không gian l}ợng tử đ}ợc coi nh} là một
không gian không giao hoán ứng với một đại số không giao hoán nào đó.
Một không gian l}ợng tử, nói riêng một hệ cơ học l}ợng tử, th}ờng chỉ
đ}ợc biết đến nhờ đại số các phép đo trên không gian đó.
Mô hình của một hệ cơ học l}ợng tử là một không gian Hilbert H cùng
một họ đủ tốt các toán tử unita. Các hệ cơ học l}ợng tử thông th}ờng
t}ơng ứng một cách hình thức với một hệ cơ học cổ điển. Vì vậy, bằng
quá trình l}ợng tử hóa một hệ cơ học cổ điển chấp nhận một nhóm đối
xứng G cho tr}ớc, ta có thể hi vọng thu đ}ợc các biểu diễn unita của
nhóm G lên không gian Hilbert H của hệ l}ợng tử t}ơng ứng và tiến gần
tới lời giải của bài toán đối ngẫu unita nói trên.
L}ợng tử hóa là quá trình xây dựng một hệ l}ợng tử từ một hệ cổ điển
cho tr}ớc nhờ quy tắc l}ợng tử. Một đại l}ợng cổ điển F đ}ợc l}ợng tử
hóa thành đại l}ợng l}ợng tử Q(f), thoả mãn nguyên lý bất định Dirac:
Q(f,g)=i
1
[Q(f),Q(g)].
Nói cách khác, ánh xạ l}ợng tử
i
1
Q
chính là một đồng cấu đại số
Lie ứng với móc Poisson và giao hoán tử.
Về ph}ơng diện toán học có thể coi Herman Weyl là ng}ời khởi x}ớng
khái niệm l}ợng tử khi ông xây dựng đ}ợc ánh xạ Q từ các đại l}ợng cổ
điển-các hàm trên không gian pha
R
2n
, đến các đại l}ợng l}ợng tử tức là
các toán tử trên không gian Hilbert
L
2
(R
n
)
:
Q : C
(R
2n
) B(L
2
(R
n
)),
f Q(f).
ánh xạ ng}ợc đ}ợc xây dựng bởi E. Wigner bằng cách coi các đại
l}ợng cổ điển nh} là các ký hiệu (symbol) của các toán tử.
Các công trình nghiên cứu toán học nhằm giải quyết bài toán l}ợng tử
hoá đ}ợc Simon Gutt trình bày trong các bài giảng [23]:
6
L}ợng tử hoá hình học(1970): B. Kostant và J. M. Souriau, một
ng}ời xuất phát từ lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, một ng}ời xuất phát từ
quan diểm symplectic của cơ học cổ điển, đã trình bày về l}ợng tử hoá
hình học.
L}ợng tử hoá thứ cấp(1970): Berezin đã xây dựng một họ các đại số
kết hợp trên lớp đặc biệt các đa tạp Kahler bằng cách sử dụng các tính
toán trên các ký hiệu, tức là đ}a ra một quy tắc l}ợng tử.
L}ợng tử hoá biến dạng: Flato, Lichnerowicz và Sternheimer đ}ara
năm 1976, trong [31] và trong [7]. Họ đề nghị l}ợng tử hoá đ}ợc hiểu
là sự biến dạng của cấu trúc đại số các đại l}ợng cổ điển (còn gọi là các
quan trắc cổ điển) hơn là sự thay đổi tận gốc tính tự nhiên của các đại
l}ợng đó.
Ngay từ những năm 70, Berezin đã đ}a ra định nghĩa toán học tổng
quát của khái niệm l}ợng tử, đó là một hàm tử từ phạm trù cơ học cổ điển
sang phạm trù các đại số kết hợp. Gần nh} cùng thời với Berezin, các nhà
toán học Bayen, Flato, Fronsdal, Lichnorewics và Sternheimer (xem[8],
[9]) đã xét l}ợng tử hoá nh} là sự biến dạng của tích giao hoán thông
th}ờng các hàm thành một
W
-tích kết hợp, không giao hoán, đ}ợc tham
số hoá bởi hằng số Plank
và thoả mãn nguyên tắc t}ơng thích. Trong
[8] họ đã phát triển một cách hệ thống khái niệm về l}ợng tử hoá biến
dạng, coi nó là một lý thuyết về
-tích và dựa trên khái niệm này họ đã
nhận đ}ợc các công thức cũ và mới độc lập với cơ học l}ợng tử. Vào năm
1983, De Wilde và Lecomte đã chứng minh đ}ợc sự tồn tại của l}ợng tử
hoá biến dạng trên mọi đa tạp symplectic. Một chứng minh khác mang
nội dung hình học hơn đ}ợc thực hiện vào năm 1985 bởi Fedosov và bởi
Omori, Maeda, Yoshioka vào năm 1988 bằng cách sử dụng phân thớ Weyl
(xem [18]).
Bài toán l}ợng tử hoá đ}ợc phát biểu một cách tự nhiên đối với đa
tạp Poisson. Đa tạp Poisson là một đa tạp M mà sao cho với mọi u, v
C
(M)
, ánh xạ
{,} : C
(M) ì C
(M) C
(M),
là một toán tử song tuyến tính phản đối xứng, thoả mãn đồng nhất Jacobi
và quy tắc Leibnitz
{u,{v, w}} + {v,{w, u}} + {w,{u, v}} =0.
{uv, w} = {u, w}v + {v, w}u.
Năm 1996, Etingof và Kazhdan đã chứng minh đ}ợc sự tồn tại của biến
dạng khả vi hình thức đối với lớp các nhóm Lie-Poisson. Việc nghiên
7
cứu đ}ợc mở rộng hơn nhiều khi M. Kontsevich hoàn thành phép chứng
minh giả thuyết của mình năm 1997, từ đó kéo theo sự tồn tại của l}ợng
tử hoá biến dạng trên mọi đa tạp Poisson tuỳ ý (xem[29]). Cùng với kết
quả đó, M. Kontsevich đã thu đ}ợc công thức t}ờng minh về
-tích đối
với mọi cấu trúc Poisson trên
R
n
. Bên cạnh đó, gần đây các nhà toán học
Reshetikhin và Takhtajan đã xây dựng thành công công thức tích phân đối
với
-tích hình thức trên các đa tạp K
ăa
hler (xem [37]). Việc tìm ra các
-tích cụ thể trên các kiểu đa tạp khác nhau trở thành một bài toán thú vị
và gặp nhiều khó khăn.
Nghiên cứu và phân loại biểu diễn của đại số Lie hay nhóm Lie cho
ta những thông tin về chính nhóm đó và của các đại số nhóm t}ơng ứng.
Việc giải quyết bài toán này rất phức tạp và hiện nay đang đ}ợc các nhà
toán học nghiên cứu nhằm cố gắng xây dựng đ}ợc và mô tả một cách
t}ờng minh. Để giải quyết bài toán này, ph}ơng pháp quỹ đạo của A.
A. Kirillov, (xem [30]) đã ra đời và nhanh chóng trở thành một công cụ
đắc lực đối với lý thuyết biểu diễn. Trong ph}ơng pháp đó Kirillov đã
xuất phát từ phân thớ một chiều trên các đa tạp symplectic thuần nhất xây
dựng từ các K-quỹ đạo trong
g
để thu đ}ợc các biểu diễn của nhóm Lie
G. Tiếp theo ông cùng với B. Kostant, (xem[31]) đã hình học hoá ph}ơng
pháp quỹ đạo bằng cách xây dựng lý thuyết l}ợng tử hoá trên các đa tạp
symplectic thuần nhất chặt mà ta vẫn gọi đó là l}ợng tử hoá hình học.
Vào những năm 79-80, Đỗ Ngọc Điệp cùng các cộng sự của mình đã
đề xuất ra quy tắc l}ợng tử hoá hình học nhiều chiều (xem[14]). Dựa vào
đó chúng ta có thể thu đ}ợc khá nhiều biểu diễn của nhóm Lie G.
Ch}ơng trình nghiên cứu đối ngẫu unita thông qua l}ợng tử hoá biến
dạng đ}ợc Bayen, Flato, Fronsdal, Lichnerowicz và Sternheimer đ}ara
năm 1978 trong [8]. Vào năm 1985 và sau đó năm 1990, D. Arnal và J.
Cortet đã áp dụng quy tắc l}ợng tử hoá biến dạng vào các nhóm nilpotent
và nhóm exponential và thu đ}ợc các công thức l}ợng tử tổng quát, (xem
[6]). Đây là một bài toán khó và kết quả đ}ợc nhiều ng}ời quan tâm
nh}ng việc tính toán cụ thể còn rất nhiều khó khăn. Các tác giả không đi
xây dựng trực tiếp các vi phôi từ
R
2n
sang các đa tạp symplectic M mà
chỉ khẳng định tồn tại các vi phôi cần thiết vì thế không thể áp dụng trực
tiếp các công thức đó vào nhiều tr}ờng hợp cụ thể để có thể nhận đ}ợc
các kết quả t}ờng minh. Gần đây, Nguyễn Việt Hải trong luận án của
mình cũng sử dụng công cụ l}ợng tử hoá biến dạng để nghiên cứu các lớp
nhóm
MD
4
và
MD
và cũng thu đ}ợc biểu thức t}ờng minh. Tuy nhiên,
đối với SL(2,
R
) là nhóm không có tính exponent thì bài toán hoàn toàn
ch}ađ}ợc giải quyết.
8
0.2 Mục đích, phoơng pháp và kết quả nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn:
Mô tả bức tranh các quỹ đạo của SL(2,
R
).
Xây dựng cụ thể l}ợng tử hoá biến dạng của đại số các hàm khả vi
vô hạn trên các K-quỹ đạo của nhóm SL(2,
R
). Từ đó tìm ra tất cả
các biểu diễn unita bất khả quy bằng ph}ơng pháp l}ợng tử hoá biến
dạng
Tìm ra các đối t}ợng l}ợng tử mới: các quỹ đạo đối phụ hợp l}ợng
tử.
Để thực hiện đuợc điều này chúng tôi tiến hành l}ợng tử hóa theo những
b}ớc sau đây:
Xây dựng vi phôi toàn thể từ
R
2
hay
C
2
sang
thoả mãn các điều
kiện sau đây:
Hàm Hamilton A ứng với tr}ờng véc tơ
A
là hàm tuyến tính theo
một biến.
Dạng Kirillov trên mỗi bản đồ
(,
1
)
là chính tắc
= dp dq.
Chứng minh
-tích Moyal-Weyl trên mỗi K quỹ đạo là G-hiệp biến,
từ đó tìm đ}ợc biểu diễn của đại số Lie
g
.
Tiếp theo, áp dụng các kết quả của Kostant và Auslander để thu đ}ợc
đầy đủ các biểu diễn của sl(2,
R
), qua đó thu đ}ợc các biểu diễn vô
cùng nhỏ của SL(2,
R
) trùng với kết quả đã biết. Nhờ đó, ta thu đ}ợc
tất cả các biểu diễn unita của SL(2,
R
) và nhận đ}ợc tính bất khả quy
nhờ lý thuyết cổ điển.
Cho một mô tả tầng K-quỹ đạo l}ợng tử hai chiều của SL(2,
R
).
Chú ý rằng một số tác giả khác bằng ph}ơng pháp khác cũng đã xây dựng
đ}ợc đối ngẫu unita của SL(2,
R
) bằng ph}ơng pháp giải tích, (xem [33]).
Tuy nhiên, cách tiếp cận này tỏ ra rất phức tạp và yêu cầu phải biết rõ về
cấu trúc của SL(2,
R
), cụ thể là phân tích Iwasawa của nó. Bằng ph}ơng
pháp tiếp cận hình học, chúng tôi đã thu đ}ợc cùng một kết quả với các
ph}ơng pháp cổ điển.
Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, hai ch}ơng nội dung, phần
kết luận và phần phụ lục. Phần mở đầu trình bày xuất xứ, cội nguồn lịch
9
sử và đặt bài toán. Các ch}ơng sau trình bày các chứng minh tính toán
và các công thức t}ờng minh
Trong ch}ơng một, sau khi trình bày về biểu diễn đối phụ hợp cùng
với việc phân loại các đa tạp Poisson thuần nhất, chúng tôi nhắc lại một
số định nghĩa và tính chất của nhóm Lie SL(2,
R
) cần thiết về sau. Tiếp
theo, bằng các tính toán cụ thể, chúng tôi thu đ}ợc dạng t}ờng minh của
quỹ đạo đối phụ hợp. Từ đó, chúng tôi xây dựng phân cực phức cho các
quỹ đạo. Đây là sự chuẩn bị cho các tính toán phức tạp hơn trong ch}ơng
sau.
Trong ch}ơng hai, sau khi nhắc lại khái niệm l}ợng tử hoá biến dạng,
chúng tôi tiến hành l}ợng tử hoá biến dạng các quỹ đạo đối phụ hợp.
Tr}ớc hết chúng tôi xây dựng các bản đồ t}ơng thích và chứng minh tính
hiệp biến của
-tích. Sau khi thu đ}ợc toán tử l}ợng tử t}ơng thích ứng
với các quỹ đạo, chúng tôi thu đ}ợc biểu diễn của đại số Lie sl(2,
R
). Tiếp
theo, chúng tôi nhắc lại phân loại của Bargman và chứng minh sự t}ơng
đ}ơng của hai cách tiếp cận này.
Trong phần phụ lục, chúng tôi trình bày ngắn gọn các kết quả của luận
văn này bằng tiếng Anh d}ới dạng một bài báo nghiên cứu Deformation
quatization and quantum coadjoint orbits of SL(2,
R
).
Kết quả nghiên cứu
Những kết quả về phân loại hình học các K-quỹ đạo
ởch}ơng I và xây dựng biểu diễn của SL(2,
R
) theo ph}ơng pháp l}ợng
tử hoá biến dạng ở ch}ơng II thu đ}ợc ở đây là lần đầu tiên: hình học
các K-quỹ đạo của SL(2,
R
)đ}ợc mô tả t}ờng minh, các biểu diễn của đại
số Lie sl(2,
R
)đ}ợc cho cụ thể bởi các toán tử giả vi phân, các biểu diễn
t}ơng ứng của nhóm Lie SL(2,
R
) cũng thu đ}ợc theo do sự trùng nhau của
các biểu diễn vô cùng bé, chúng tác động lên không gian
L
2
của th}ơng
của nhóm Lie G theo phân cực t}ơng ứng.
Một hệ quả thú vị từ mô tả biểu diễn unita bất khả quy của SL(2,
R
)
nói ở trên là các đại số l}ợng tử: mặt elliptic hyperboloid l}ợng tử, mặt
hyperbolic hyperboloid hai tầng l}ợng tử, mặt nón l}ợng tử nh} là biến
dạng của đại số các hàm trơn trên các K-quỹ đạo. Những đối t}ợng l}ợng
tử này đ}ợc mô tả ở đây lần đầu tiên.
Các kết quả cơ bản đ}ợc báo cáo tại seminar phòng Hình Học và
Tôpô, Viện Toán Học và hội nghị khoa học sinh viên khoa Toán-Cơ-Tin
học, ĐHKHTN, ĐHQGHN.
10
0.3 Lời cảm ơn
Luận văn đ}ợc hoàn thành d}ới sự h}ớng dẫn khoa học của giáo s} tiến sĩ
khoa học Đỗ Ngọc Diệp, ng}ời thầy vô cùng tận tâm và nghiêm khắc. Tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn vô cùng sâu sắc đến ng}ời thầy kính yêu đã từng
b}ớc h}ớng dẫn tôi làm quen với giải tích điều hoà, lý thuyết biểu diễn
nhóm Lie cùng với lý thuyết đại số l}ợng tử để tiến tới nắm vững các lý
thuyết đó, tự giải quyết d}ợc bài toán của mình. Tôi xin chân thành cảm
ơn Tiến sĩ Nguyễn Việt Dũng cùng các giáo s}, tiến sĩ thuộc phòng Hình
học và Tôpô, Viện Toán Học, trung tâm KHTN và CNQG đã giúp đỡ tôi
nâng cao trình độ chuyên môn và ph}ơng pháp làm việc có hiệu quả, đặc
biệt là qua các buổi sinh hoạt chuyên môn của phòng. Tôi cũng xin chân
thành cảm ơn thầy giáo chủ nhiệm Tiến sĩ Nguyễn Đức Đạt, Tiến sĩ Đặng
Vũ Giang cùng các thầy giáo trong khoa-những ng}ời thầy vô cùng đáng
kính đã có công ơn dìu dắt tác giả trong những năm đại học. Luận văn
này cũng không thể hoàn thành nếu nh} thiếu sự cổ vũ, động viên về mặt
tinh thần của gia đình và bạn bè cùng khoá.
Luận văn đ}ợc hoàn thành tại tr}ờng ĐHKHTN
Tháng 5 năm 2003
11
Choơng 1
Hình học các quỹ đạo đối phụ hợp
của SL(2,R)
1.1 Tổng quan về phoơng pháp quỹ đạo
Chúng ta sẽ bắt đầu bằng những khái niệm cơ bản của ph}ơng pháp quỹ
đạo của Kirillov (xem [30]). Ph}ơng pháp này cho một mối liên hệ gần
gũi giữa các biểu diễn unita vô hạn chiều và các quỹ đạo đối phụ hợp
trong
g
.
Một cấu trúc symplectic trên một đa tạp là một dạng vi phân cấp hai
đóng, phản xứng, không suy biến. Không gian pha của một hệ cơ học cổ
diển là ví dụ điển hình của một đa tạp symplectic. Ng}ời ta nhận thấy
rằng quỹ đạo của một nhóm Lie cũng là các đa tạp symplectic. Vì vậy,
nó đề xuất ra khả năng sử dụng các công cụ của cơ học để giải quyết các
vấn đề về toán học.
Về lịch sử, ph}ơng pháp quỹ đạo đ}ợc đề xuất lần đầu tiên trong [31]
để miêu tả đối ngẫu unita của nhóm Lie nilpotent. Tuy nhiên sau đó ng}ời
ta nhận thấy rằng, tất cả các câu hỏi chính của lý thuyết biểu diễn nh} cấu
trúc tôpô của đối ngẫu unita, công thức đặc tr}ng, sự mô tả t}ờng minh
của các hàm tử cảm sinh và hạn chế đều có thể đ}ợc thể hiện một cách tự
nhiên d}ới dạng các quỹ đạo. Hơn nữa, bằng một số thay đổi nhỏ, ng}ời
ta có thể áp dụng ph}ơng pháp này cho các nhóm Lie tổng quát hơn.
1.1.1 Biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie
Cho G là một nhóm Lie, tức là một đa tạp trơn cùng với một phép toán
mà là một ánh xạ trơn
Gì G G
thoả mãn các tiên đề của nhóm. Ví dụ
quan trọng nhất của nhóm Lie là lớp nhóm ma trận, tức là các nhóm con
12
của GL(2,
R
). Xét
g
=Lie(G) là không gian tiếp xúc
T
e
(G)
tại điểm đơn vị
e. Nhóm G tác động lên chính nó bởi tự đẳng cấu trong
i(g):x gxg
1
.
Điểm e là điểm bất động của tác động này do đó chúng ta nhận đ}ợc tác
động đạo hàm của G lên
g
A
(g):g g,
mà thông th}ờng đ}ợc ký hiệu là Ad(g). Biểu diễn này đ}ợc gọi là biểu
diễn phụ hợp của G. Đối với tr}ờng hợp nhóm Lie ma trận thì biểu diễn
phụ hợp đơn giản chỉ là phép liên hợp ma trận:
Ad(g)X = gXg
1
,X g,g G.
Chúng ta xét không gian đối ngẫu của
g
mà thông th}ờng đ}ợc ký hiệu
bằng
g
. Khi đó biểu diễn đối phụ hợp (còn gọi là K-biểu diễn) mà đối
ngẫu với khái niệm biểu diễn phụ hợp ở trên đ}ợc định nghĩa nh} sau:
K(g)F, X = F, Ad(g
1
)X,
trong đó ở đây
F g
. Giả sử
F g
và
F
là K-quỹ đạo đi qua F trong
g
.
Đặt
G
F
= stab(F )
là nhóm con dừng của F và
g
F
= LieG
F
. Ta có dãy
khớp sau
0 g
F
g T
F
(
F
) 0.
Trên
g
tồn tại một dạng song tuyến tính phản đối xứng chính tắc
B
F
mà
có nhân đúng bằng
g
F
:
B
F
(X, Y )=F, [X, Y ].
Vì vậy chúng ta có thể định nghĩa đ}ợc dạng vi phân
trên
G
F
\ G
mà
giá trị
F
của nó tại F đ}ợc xác định bởi
F
(K
(X)F, K
(Y )F )=B
F
(X, Y ).
Có thể chứng minh đ}ợc rằng
F
là một dạng vi phân cấp hai đóng không
suy biến và G-bất biến trên G-không gian thuần nhất
G
F
\ G
mà đã đ}ợc
đồng nhất chính tắc với
F
.Ng}ời ta cũng biết rằng dạng vi phân
không
phụ thuộc vào việc ta chọn điểm F trên quỹ đạo (xem [30] để biết thêm
chi tiết).
Vậy tổng kết lại chúng ta có định lý sau đây:
Định lý 1.1.1 Trên mọi quỹ đạo đối phụ hợp
F
của nhóm Lie G, tồn tại dạng
vi phân cấp 2 đóng, không suy biến, G-bất biến mà ta gọi là dạng Kirillov.
13
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét