- 1 -
Tổ Toán - THPTSD
Giới hạn - Tiệm cận (4tiết)
A. Muc tiêu
Học sinh biết tìm: - Giới hạn của bốn hàm số cơ bản
- Phơng trình đờng tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên
B/ Kiến thức kỹ năng:
Tiết 1
I/ Chia đa thức bậc hai cho bậc nhất một biến
- Để học sinh nắm đợc thuật toán chia đa thức cho đa thức trớc hết học sinh phải nắm
đợc phép chia hết và phép chia có d
Ví dụ 1: Thực hiện phép toán sau:
26
926
;
25
80
;
3
14
926 26
7 8 3 5
1 46
130
16 Ta viết:
26
926
= 35 +
26
16
Chú ý: Khi thực hiện phép chia đa thức cho đa thức( một biến)
)(
)(
xQ
xP
Bớc 1: Ta phải sắp xếp các đa thức theo cùng một thứ tự lũy thừa giảm dần của biến x
Bớc 2: Ta thực hiện phép toán
* Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia (tử thức) cho hạng tử cao nhất của đa thức
chia(mẫu thức)
* Nhân ngợc trở lại, viết kết quả dới đa thức bị chia các hạng tử đồng dạng viết cùng
một cột
* Trừ: Lấy đa thức bị chia trừ đi tích ta nhận đợc đa thức d.Sau đó lại tiếp tục thực
hiện với d thứ nhất nh đã thực hiện với đa thức bị chia(chia, nhân, trừ) đến khi đa thức d có
bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia(mẫu thức) thì dừng lại
Bớc 3:Viết đa thức dới dạng
)(
)(
xQ
xP
= ax + b +
)(xQ
c
( a
2
+ b
2
0,0
c
)
Ví dụ 2: Thực hiện phép toán:
1
1
+
x
x
x+1 x-1
x-1 1
2
Ta viết:
1
1
+
x
x
= 1 +
1
2
x
Ví dụ 3: Thực hiện phép toán:
2
1
x
x
Ta có :
2
1
x
x
=
2
1
+
x
x
-x+1 x-2
- x+2 -1
-1 Ta viết:
2
1
+
x
x
= -1 -
2
1
x
Bài tập tơng tự:Thực hiện các phép toán sau:
- 2 -
Tổ Toán - THPTSD
1/
32
14
+
+
x
x
4/
x
x
+
1
3
2/
42
21
x
x
5/
12
3
+
+
x
x
3/
1
2
+
x
x
6/
mx
mx
+
2
1
Ví dụ 4: Thực hiện phép toán
1
63
2
+
x
xx
x
2
-3x+6 x-1
x
2
-x x-2
-2x +6
-2x+2
4
Ta viết là:
1
63
2
+
x
xx
= x - 2 +
1
4
x
Bài tập tơng tự:
Thực hiện các phép toán sau:
1/
1
33
2
+
++
x
xx
4/
12
32
2
+
x
xx
7/
mx
mxmx
+
++++
2)2(
22
2/
1
1
2
+
+
x
xx
5/
2
54
2
+
+
x
xx
3/
x
xx
+
1
4
2
6/
1
12
2
+
++
mx
mmxx
II/ Tính các giới hạn (2 tiết)
Tiết 2
Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
0
)
=+++=
++
)(
32
3
x
d
x
c
x
b
axLimyLim
xx
(dấu của a)
=+++=
)(
32
3
x
d
x
c
x
b
axLimyLim
xx
(trái dấu của a)
Ví dụ 1:
Tính giới hạn của các hàm số sau khi x
:
a/ y = x
3
+ 3x
2
- 4 ( hệ số a = 1 > 0 )
Ta có:
+=+=
++
)
43
1(
3
3
x
x
xLimyLim
xx
=+=
)
43
1(
3
3
x
x
xLimyLim
xx
b/ y = -x
3
+ 3x
2
- 4x + 2 ( hệ số a = -1 < 0 )
Ta có:
=++=
++
)
243
1(
32
3
xx
x
xLimyLim
xx
+=++=
)
243
1(
32
3
xx
x
xLimyLim
xx
- 3 -
Tổ Toán - THPTSD
Bài tập tơng tự:
Tính các giới hạn của các hàm số sau khi x
:
1/ y = x
3
- 3x
2
+ 3x + 1
2/ y = -x
3
+ 3x
2
3/ y = x
3
- (m +2)x + m ( với m = 1)
4/ y = x
3
+ 3x
2
+ mx + m - 2
5/ y = x
3
+ 2x
2
- 3x + 4
<2> Hàm số bậc 4: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
0
)
=++=
++
)(
42
4
x
c
x
b
axLimyLim
xx
( Dấu của hệ số a)
=++=
)(
42
4
x
c
x
b
axLimyLim
xx
( Dấu của hệ số a)
Ví dụ: Tính các giới hạn của các hàm số sau khi x
:
a/ y = x
4
- 2x
2
+ 1 ( hệ số a = 1 > 0 )
+=+=
++
)
12
1(
42
4
xx
xLimyLim
xx
+=+=
)
12
1(
42
4
xx
xLimyLim
xx
b/ y = -4x
4
- 8x
2
+ 1 ( hệ số a = - 4 < 0 )
=+=
++
)
18
4(
42
4
xx
xLimyLim
xx
=+=
)
18
4(
42
4
xx
xLimyLim
xx
Bài tập tơng tự:
Tính các giới hạn của các hàm số sau khi x
:
1/ y =
13
2
1
24
+
xx
2/ y =
1
3
1
24
++
xx
3/ y = x
4
- 2x
2
+
2
3
4/ y = mx
4
- 2x
2
+ 1
5/ y = -x
4
- 2mx
2
2
Tiết 3
<3>.Giới hạn hàm số
dcx
bax
y
+
+
=
(ac
0
, D=ad-bc
0
)
Chú ý :
1.
c
a
dcx
bax
Lim
x
=
+
+
2.Nếu tử thức
hằng số , Mẫu thức
0 Thì phân thức
3.
=
+
+
=
++
)(
daucuaC
daucuatu
dcx
bax
y
LimLim
c
d
x
c
d
x
{ Giải PT cx +d=0}
- 4 -
Tổ Toán - THPTSD
=
+
+
=
)(
Ctraidaucua
daucuatu
dcx
bax
y
LimLim
c
d
x
c
d
x
Ví dụ :*Tính giới hạn của hàm số khi x
(a)
2
12
=
x
x
y
2
2
12
=
=
x
x
xx
LimyLim
(b)
1
21
+
=
x
x
y
2
1
12
1
21
=
+
+
=
+
x
x
x
x
LimLim
xx
*Tính giới hạn của hàm số khi x
-
+
c
d
; x
-
c
d
(a)
2
12
=
x
x
y
+=
+
2
12
2
x
x
Lim
x
;
=
2
12
2
x
x
Lim
x
(tử thức
3, Mẫu thức
0)
(b)
1
21
+
+
=
x
x
y
=
+
+
+
1
21
1
x
x
Lim
x
;
+=
+
+
1
21
1
x
x
Lim
x
Bài tập tơng tự :Tính giới hạn của các hàm số sau
1/
12
3
=
x
x
y
2/
2
2
+
=
x
x
y
3/
2
3
+
=
x
x
y
4/
x
x
y
+
=
1
22
<4.>Giới hạn của hàm số y =
''
2
bxa
cbxax
+
++
(aa
0)
Chú ý :
1.
=
+
++
+
''
2
bxa
cbxax
Lim
x
(dấu của a.a)
=
+
++
''
2
bxa
cbxax
Lim
x
(Tráidấu của a.a)
2.
2
'
'
( )
' ' '
b
x
a
ax bx c daututhuc
Lim
a x b dauhesoa
+
+ +
=
+
2
'
'
( )
' ' '
b
x
a
ax bx c daututhuc
Lim
a x b traidauhesoa
+ +
=
+
Ví dụ 1:Tính giới hạn của các hàm số sau khi x
;
'
'
a
b
x
:
a/ y =
2
2 3 5
2
x x
x
+
- 5 -
Tổ Toán - THPTSD
Bớc 1: Giải phơng trình x 2 = 0 <=> x = 2
Bớc 2:
+=
+
=
+
++
)
2
1(
)5
3
2(
2
532
2
2
x
x
x
x
Lim
x
xx
Lim
xx
( hệ số a.a=2 >0)
=
+
=
+
)
2
1(
)5
3
2(
2
532
2
2
x
x
x
x
Lim
x
xx
Lim
xx
2
2
2
2 3 5
2
x
x
x x
Limy Lim
x
+
+
+
= = +
2
2
2
2 3 5
2
x
x
x x
Limy Lim
x
+
= =
Ví dụ 2: Tính giới hạn của các hàm số sau:
a/ y =
22
22
2
+
++
x
xx
Bớc 1: Giải phơng trình -2x +2 = 0 <=> x = 1
Bớc 2:
=
+
+
=
+
+
++
)
2
2(
)
23
2(
22
232
2
2
2
x
x
x
x
x
Lim
x
xx
Lim
xx
( hệ số a.a= -4<0 )
+=
+
+
=
+
+
)
2
2(
)
23
2(
22
232
2
2
2
x
x
x
x
x
Lim
x
xx
Lim
xx
=
+
+
+
22
232
2
1
x
xx
Lim
x
+=
+
+
22
232
2
1
x
xx
Lim
x
Bài tập tơng tự:Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1/ y =
2
4
1
x x
x
+
2/ y =
2
22
2
+
++
x
xx
3/ y =
2
4 5
2
x x
x
+
4/ y =
2
3 3
2 2
x x
x
+
Tiết 4
III.Tiệm cận
- 6 -
Tổ Toán - THPTSD
<1>Tiệm cận của hàm số y =
ax b
cx d
+
+
Chú ý;
*
=
+
+
=
dcx
bax
LimyLim
c
d
x
c
d
x
thì x = -
d
c
là tiệm cận đứng
*
x
a
Lim y
c
=
thì y =
a
c
là tiệm cận ngang
* Hàm số y =
ax b
cx d
+
+
Chỉ tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
Bớc 1: Giải phơng trình: cx + d = 0 <=> x = -
d
c
Bớc 2: Tìm
=
+
+
=
++
)(
daucuac
daucuatu
dcx
bax
LimyLim
c
d
x
c
d
x
=
+
+
=
)(
ctraidaucua
daucuatu
dcx
bax
LimyLim
c
d
x
c
d
x
Kết luận: x = -
d
c
là tiệm cận đứng
Bớc 3: Tìm
c
a
dcx
bax
LimyLim
xx
=
+
+
=
Kết luận : y =
a
c
là tiệm cận ngang
Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận của các hàm số sau
y =
2 1
1
x
x
( Học sinh cần xác định các hệ số a, b, c, d)
Bớc 1: Giải phơng trình x - 1 = 0 <=> x = 1
Bớc 2: Ta có
1 1
2 1
1
x x
x
Lim y Lim
x
+ +
= = +
1 1
2 1
1
x x
x
Lim y Lim
x
= =
Kết luận: x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bớc 3: Ta có
2
1
12
=
=
x
x
LimyLim
xx
Vậy y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Ví dụ 2: Tìm các tiệm cận của các hàm số sau
y =
3 4
2 3
x
x
+
Bớc 1: Giải phơng trình 2x - 3 = 0 <=> x =
3
2
Bớc 2: Ta có
3 3
2 2
3 4
2 3
x x
x
Lim y Lim
x
+ +
+
= = +
3 3
2 2
3 4
2 3
x x
x
Lim y Lim
x
+
= =
- 7 -
Tổ Toán - THPTSD
Vậy x =
3
2
là tiệm cận đứng của đồ thị
Bớc 3: Ta có
2
3
32
43
=
+
=
x
x
LimyLim
xx
Vậy: y =
3
2
là tiệm cận ngang của đồ thị
Bài tập tơng tự:
Tìm các tiệm cận của các hàm số sau:
1/ y =
2 1
1
x
x
+
+
2/ y =
3
2
x
x
+
3/ y =
1
x
x
4/ y =
2 1
2
x
x
<2> Tiệm cận của hàm y =
''
2
bxa
cbxax
+
++
(aa
0)
Chú ý : * Viết y =
''
2
bxa
cbxax
+
++
= kx + l +
'
' '
c
a x b+
(aa
0, c
0 )
* Bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử khi x
thì giới hạn bằng 0
* Nếu
'
'
b
x
a
Lim
=
thì x = -
'
'
b
a
là tiệm cận đứng của đồ thị
* Nếu
[ ]
'
( ) 0
' '
x x
c
Lim y kx l Lim
a x b
+ = =
+
thì y = kx + l là tiệm cận xiên
của đồ thị
* Hàm số y =
''
2
bxa
cbxax
+
++
Chỉ tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên, không tìm
tiệm cận ngang
Phơng pháp tìm tiệm cận đối với hàm số y =
''
2
bxa
cbxax
+
++
=kx + l +
'
' '
c
a x b+
(aa
0)
Bớc 1: Giải phơng trình: a'x +b' = 0 <=> x =
'
'
a
b
Bớc : Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bớc 3 Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số và tính
yLim
x
Ví dụ : Tìm các tiệm cận của các hàm số sau:
y =
2
2 3 5
2
x x
x
+
= 2x + 7 +
9
2x
Bớc 1: Ta có x - 2 = 0 <=> x = 2
- 8 -
Tổ Toán - THPTSD
Bớc 2:
2x
Lim y
+
= +
;
2x
Lim y
=
Vậy x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bớc 3:
x
Lim y
+
= +
;
x
Lim y
=
[ ]
9
(2 7) 0
2
x x
Lim y x Lim
x
+ = =
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 2x + 7
Bài tập tơng tự
Tìm các tiệm cận của các hàm số sau:
1/ y =
2
4
1
x x
x
+
2/
1
33
2
+
++
=
x
xx
y
3/ y =
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
4/ y =
2
4 5
2
x x
x
+
5/ y =
2
3 3
2 2
x x
x
+
Trên đây là một số kinh nghiệm dậy cho hoc sinh yếu .Chúng tôi rất mong nhận đơc ý
kiến đóng góp của các đồng chí
Xin cảm ơn các đồng chí !
Nhóm Toán tin
Trờng THPTSD
- 9 -
Tổ Toán - THPTSD
- 10 -
Tổ Toán - THPTSD
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét