Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp theo k mệnh đề sau:
W
k
[i,j] là chiều dài đường đi ngắn nhất trong những đường đi nối đỉnh v
i
với đỉnh
v
j
đi qua các đỉnh trung gian trong {v
1
, v
2
, , v
k
}.
Trước hết mệnh đề hiển nhiên đúng với k=0.
Giả sử mệnh đề đúng với k-1.
Xét W
k
[i,j]. Có hai trường hợp:
1) Trong các đường đi chiều dài ngắn nhất nối v
i
với v
j
và đi qua các đỉnh trung gian trong
{v
1
, v
2
, , v
k
}, có một đường đi γ sao cho v
k
∉ γ. Khi đó γ cũng là đường đi ngắn nhất nối
v
i
với v
j
đi qua các đỉnh trung gian trong {v
1
, v
2
, , v
k-1
}, nên theo giả thiết quy nạp,
W
k-1
[i,j] = chiều dài γ ≤ W
k-1
[i,k]+W
k-1
[k,j].
Do đó theo định nghĩa của W
k
thì W
k
[i,j]=W
k-1
[i,j].
2) Mọi đường đi chiều dài ngắn nhất nối v
i
với v
j
và đi qua các đỉnh trung gian trong {v
1
,
v
2
, , v
k
}, đều chứa v
k
. Gọi γ = v
i
v
k
v
j
là một đường đi ngắn nhất như thế thì v
1
v
k
và v
k
v
j
cũng là những đường đi ngắn nhất đi qua các đỉnh trung gian trong {v
1
, v
2
, ,
v
k-1
} và
W
k-1
[i,k]+W
k-1
[k,j] = chiều dài(v
1
v
k
) + chiều dài(v
k
v
j
)
= chiều dài γ < W
k-1
[i,j].
Do đó theo định nghĩa của W
k
thì ta có:
W
k
[i,j] = W
k-1
[i,k]+W
k-1
[k,j] .
Thí dụ 2: Xét đồ thị G sau:
Áp dụng thuật toán Floyd, ta tìm được (các ô trống là ∞)
W = W
0
=
1
22
4
3
14
27
71
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
4
7
2
2
4
1
1
2
3
W
1
=
1
4292
4
3
14
27
, W
2
=
251
104292
584
3
14
82117
W
3
=
8251
5104292
11584
3
714
1482117
, W
4
=
8251
594282
11584
3
714
1372106
W
5
=
726414
594282
1059747
3
615393
1272969
, W* = W
6
=
726414
574262
1059747
359747
615373
1272969
.
Thuật toán Floyd có thể áp dụng cho đồ thị vô hướng cũng như đồ thị có hướng.
Ta chỉ cần thay mỗi cạnh vô hướng (u,v) bằng một cặp cạnh có hướng (u,v) và (v,u) với
m(u,v)=m(v,u). Tuy nhiên, trong trường hợp này, các phần tử trên đường chéo của ma
trận W cần đặt bằng 0.
Đồ thị có hướng G là liên thông mạnh khi và chỉ khi mọi phần tử nằm trên đường
chéo trong ma trận trọng số ngắn nhất W* đều hữu hạn.
72
5.2. BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI.
5.2.1. Luồng vận tải:
5.2.1.1. Định nghĩa: Mạng vận tải là một đồ thị có hướng, không có khuyên và có
trọng số G=(V,E) với V={v
0
, v
1
, , v
n
} thoả mãn:
1) Mỗi cung e ∈ E có trọng số m(e) là một số nguyên không âm và được gọi là khả năng
thông qua của cung e.
2) Có một và chỉ một đỉnh v
0
không có cung đi vào, tức là deg
t
(v
0
)=0. Đỉnh v
0
được gọi là
lối vào hay đỉnh phát của mạng.
3) Có một và chỉ một đỉnh v
n
không có cung đi ra, tức là deg
o
(v
n
)=0. Đỉnh v
n
được gọi là
lối ra hay đỉnh thu của mạng.
5.2.1.2. Định nghĩa: Để định lượng khai thác, tức là xác định lượng vật chất chuyển
qua mạng vận tải G=(V,E), người ta đưa ra khái niệm luồng vận tải và nó được định
nghĩa như sau.
Hàm ϕ xác định trên tập cung E và nhận giá trị nguyên được gọi là luồng vận tải
của mạng vận tải G nếu ϕ thoả mãn:
1) ϕ(e) ≥ 0, ∀e ∈ E.
2)
∑
−
Γ∈
)(
)(
ve
e
ϕ
=
∑
+
Γ∈
)(
)(
ve
e
ϕ
, ∀v ∈V, v≠v
0
, v≠v
n
. Ở đây,
−
Γ
(v)={e∈E | e có đỉnh cuối là
v},
+
Γ
(v)={e∈E | e có đỉnh đầu là v}.
3) ϕ(e) ≤ m(e), ∀e ∈ E.
Ta xem ϕ(e) như là lượng hàng chuyển trên cung e=(u,v) từ đỉnh u đến đỉnh v và
không vượt quá khả năng thông qua của cung này. Ngoài ra, từ điều kiện 2) ta thấy rằng
nếu v không phải là lối vào v
0
hay lối ra v
n
, thì lượng hàng chuyển tới v bằng lượng hàng
chuyển khỏi v.
Từ quan hệ 2) suy ra:
4)
∑
+
Γ∈
)(
0
)(
ve
e
ϕ
=
∑
−
Γ∈
)(
)(
n
ve
e
ϕ
=:
n
v
ϕ
.
Đại lượng
n
v
ϕ
(ta còn ký hiệu là
n
ϕ
) được gọi là luồng qua mạng, hay cường độ
luồng tại điểm v
n
hay giá trị của luồng ϕ. Bài toán đặt ra ở đây là tìm ϕ để
n
v
ϕ
đạt giá trị
lớn nhất, tức là tìm giá trị lớn nhất của luồng.
5.2.1.3. Định nghĩa: Cho mạng vận tải G=(V,E) và A ⊂ V. Ký hiệu
−
Γ
(A)={(u,v)∈E | v∈A, u∉A},
+
Γ
(A)={(u,v)∈E | u∈A, v∉A}.
Đối với tập cung M tuỳ ý, đại lượng ϕ(M)=
∑
∈
Me
e)(
ϕ
được gọi là luồng của tập
cung M.
Từ điều kiện 2) dễ dàng suy ra hệ quả sau.
5.2.1.4. Hệ quả: Cho ϕ là luồng của mạng vận tải G=(V,E) và A ⊂ V \{v
0
,v
n
}. Khi đó:
ϕ(
−
Γ
(A))=ϕ(
+
Γ
(A)).
5.2.2. Bài toán luồng cực đại:
73
Cho mạng vận tải G=(V,E). Hãy tìm luồng ϕ để đạt
n
v
ϕ
max trên mạng G.
Nguyên lý của các thuật toán giải bài toán tìm luồng cực đại là như sau.
5.2.2.1. Định nghĩa: Cho A ⊂ V là tập con tuỳ ý không chứa lối vào v
0
và chứa lối ra
v
n
. Tập
−
Γ
(A) được gọi là một thiết diện của mạng vận tải G.
Đại lượng m(
−
Γ
(A))=
∑
−
Γ∈
)(
)(
Ae
em
được gọi là khả năng thông qua của thiết diện
−
Γ
(A).
Từ định nghĩa thiết diện và khả năng thông qua của nó ta nhận thấy rằng: mỗi đơn
vị hàng hoá được chuyển từ v
0
đến v
n
ít nhất cũng phải một lần qua một cung nào đó của
thiết diện
−
Γ
(A). Vì vậy, dù luồng ϕ và thiết diện
−
Γ
(A) như thế nào đi nữa cũng vẫn
thoả mãn quan hệ:
ϕ
n
≤ m(
−
Γ
(A)).
Do đó, nếu đối với luồng ϕ và thiết diện W mà có:
ϕ
n
= m(W)
thì chắc chắn rằng luồng ϕ đạt giá trị lớn nhất và thiết diện W có khả năng thông qua nhỏ
nhất.
5.2.2.2. Định nghĩa: Cung e trong mạng vận tải G với luồng vận tải ϕ được goi là cung
bão hoà nếu ϕ(e)=m(e).
Luồng ϕ của mạng vận tải G được gọi là luồng đầy nếu mỗi đường đi từ v
0
đến v
n
đều chứa ít nhất một cung bão hoà.
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, nếu luồng ϕ trong mạng vận tải G chưa đầy thì
nhất định tìm được đường đi α từ lối vào v
0
đến lối ra v
n
không chứa cung bão hoà. Khi
đó ta nâng luồng ϕ thành ϕ’ như sau:
∉
∈+
=
.)(
,1)(
)('
αϕ
αϕ
ϕ
ekhie
ekhie
e
Khi đó ϕ’ cũng là một luồng, mà giá trị của nó là:
ϕ’
n
= ϕ
n
+1 > ϕ
n
.
Như vậy, đối với mỗi luồng không đầy ta có thể nâng giá trị của nó và nâng cho
tới khi nhận được một luồng đầy.
Tuy vậy, thực tế cho thấy rằng có thể có một luồng đầy, nhưng vẫn chưa đạt tới
giá trị cực đại. Bởi vậy, cần phải dùng thuật toán Ford-Fulkerson để tìm giá trị cực đại
của luồng.
5.2.2.3. Thuật toán Ford-Fulkerson:
Để tìm luồng cực đại của mạng vận tải G, ta xuất phát từ luồng tuỳ ý ϕ của G, rồi
nâng luồng lên đầy, sau đó áp dụng thuật toán Ford-Fulkerson hoặc ta có thể áp dụng
thuật toán Ford-Fulkerson trực tiếp đối với luồng ϕ.
74
Thuật toán gồm 3 bước:
Bước 1 (đánh dấu ở đỉnh của mạng): Lối vào v
0
được đánh dấu bằng 0.
1) Nếu đỉnh v
i
đã được đánh dấu thì ta dùng chỉ số +i để đánh dấu cho mọi đỉnh y chưa
được đánh dấu mà (v
i
,y)∈E và cung này chưa bão hoà (ϕ(v
i
,y)<m(v
i
,y)).
2) Nếu đỉnh v
i
đã được đánh dấu thì ta dùng chỉ số −i để đánh dấu cho mọi đỉnh z chưa
được đánh dấu mà (z,v
i
)∈E và luồng của cung này dương (ϕ(z,v
i
)>0).
Nếu với phương pháp này ta đánh dấu được tới lối ra v
n
thì trong G tồn tại giữa v
0
và v
n
một xích α, mọi đỉnh đều khác nhau và được đánh dấu theo chỉ số của đỉnh liền
trước nó (chỉ sai khác nhau về dấu). Khi đó chắc chắn ta nâng được giá trị của luồng.
Bước 2 (nâng giá trị của luồng): Để nâng giá trị của luồng ϕ, ta đặt:
ϕ’(e) = ϕ(e), nếu e∉α,
ϕ’(e) = ϕ(e)+1, nếu e∈α được định hướng theo chiều của xích α đi từ v
o
đến v
n
,
ϕ’(e) = ϕ(e)−1, nếu e∈α được định hướng ngược với chiều của xích α đi từ v
o
đến v
n
.
ϕ’ thoả mãn các điều kiện về luồng, nên ϕ’ là một luồng và ta có:
ϕ’
n
= ϕ
n
+1.
Như vậy, ta đã nâng được luồng lên một đơn vị.
Sau đó lặp lại một vòng mới. Vì khả năng thông qua của các cung đều hữu hạn,
nên quá trình phải dừng lại sau một số hữu hạn bước.
Bước 3: Nếu với luồng ϕ
0
bằng phương pháp trên ta không thể nâng giá trị của luồng lên
nữa, nghĩa là ta không thể đánh dấu được đỉnh v
n
, thì ta nói rằng quá trình nâng luồng kết
thúc và ϕ
0
đã đạt giá trị cực đại, đồng thời gọi ϕ
0
là luồng kết thúc.
Khi mạng vận tải G=(V,E) đạt tới luồng ϕ
0
, thì bước tiếp theo ta không thể đánh
dấu được tới lối ra v
n
. Trên cơ sở hiện trạng được đánh dấu tại bước này, ta sẽ chứng
minh rằng luồng ϕ
0
đã đạt được giá trị cực đại.
5.2.2.4. Bổ đề: Cho luồng ϕ của mạng vận tải G=(V,E) và A ⊂ V, chứa lối ra v
n
và
không chứa lối vào v
0
. Khi đó:
))(())(( AA
n
v
+−
Γ−Γ=
ϕϕϕ
.
Chứng minh: Đặt A
1
=A \{v
n
}. Theo Hệ quả 5.2.1.4, ta có:
75
y v
j
z
v
n
v
i
v
0
0
e
+i
-j
))(())((
11
AA
+−
Γ=Γ
ϕϕ
(1).
Đặt C
1
={(a,v
n
)∈E | a∉A}. Khi đó
∪Γ=Γ
−−
)()(
1
AA
C
1
và
∩Γ
−
)(
1
A
C
1
= ∅, nên
ϕϕϕ
+Γ=Γ
−−
))(())((
1
AA
(C
1
) (2).
Đặt C
2
={(b,v
n
)∈E | b∈A
1
}. Khi đó C
2
={(b,v
n
)∈E | b∈A},
∪Γ=Γ
++
)()(
1
AA
C
2
và
∩Γ
+
)( A
C
2
= ∅, nên
ϕϕϕ
−Γ=Γ
++
))(())((
1
AA
(C
2
) (3).
Ngoài ra,
)(
n
v
−
Γ
= C
1
∪C
2
và C
1
∩C
2
= ∅, nên
n
v
ϕ
=
))((
n
v
−
Γ
ϕ
=
ϕ
(C
1
)+
ϕ
(C
2
) (4).
Từ (1), (2), (3) và (4), ta có:
))(())(( AA
n
v
+−
Γ−Γ=
ϕϕϕ
.
5.2.2.5. Định lý (Ford-Fulkerson): Trong mạng vận tải G=(V,E), giá trị lớn nhất của
luồng bằng khả năng thông qua nhỏ nhất của thiết diện, nghĩa là
))((minmax
,,
0
Am
AvAvVA
v
n
n
−
∈∉⊂
Γ=
ϕ
ϕ
.
Chứng minh: Giả sử trong mạng vận tải G, ϕ
0
là luồng cuối cùng, mà sau đó bằng
phương pháp đánh dấu của thuật toán Ford-Fulkerson không đạt tới lối ra v
n
. Trên cơ sở
hiện trạng được đánh dấu lần cuối cùng này, ta dùng B để ký hiệu tập gồm các đỉnh của G
không được đánh dấu. Khi đó v
0
∉B, v
n
∈B. Do đó
−
Γ
(B) là một thiết diện của mạng vận
tải G và theo Bổ đề 5.2.2.4, ta có:
))(())((
000
BB
n
v
+−
Γ−Γ=
ϕϕϕ
(1).
Đối với mỗi cung e=(u,v)∈
−
Γ
(B) thì u∉B và v∈B, tức là u được đánh dấu và v
không được đánh dấu, nên theo nguyên tắc đánh dấu thứ nhất, e đã là cung bão hoà:
ϕ
0
(e) = m(e).
Do đó,
))(()()())((
)()(
00
BmemeB
BeBe
−
Γ∈Γ∈
−
Γ===Γ
∑∑
−−
ϕϕ
(2).
Đối với mỗi cung e=(s,t)∈
+
Γ
(B) thì s∈B và t∉B, tức là s không được đánh dấu
và t được đánh dấu, nên theo nguyên tắc đánh dấu thứ hai:
ϕ
0
(e) = 0.
Do đó,
0)())((
)(
00
==Γ
∑
+
Γ∈
+
Be
eB
ϕϕ
(3).
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra:
))((
0
Bm
n
v
−
Γ=
ϕ
.
Vì vậy,
0
n
v
ϕ
là giá trị lớn nhất của luồng đạt được, còn m(
−
Γ
(B)) là giá trị nhỏ
nhất trong các khả năng thông qua của các thiết diện thuộc mạng vận tải G.
Thí dụ 3: Cho mạng vận tải như hình dưới đây với khả năng thông qua được đặt trong
khuyên tròn, luồng được ghi trên các cung. Tìm luồng cực đại của mạng này.
Luồng ϕ có đường đi (v
0
,v
4
), (v
4
,v
6
), (v
6
,v
8
) gồm các cung chưa bão hoà nên nó
chưa đầy. Do đó có thể nâng luồng của các cung này lên một đơn vị, để được ϕ
1
.
76
Do mỗi đường xuất phát từ v
0
đến v
8
đều chứa ít nhất một cung bão hoà, nên luồng
ϕ
1
là luồng đầy. Song nó chưa phải là luồng cực đại.
Áp dụng thuật toán Ford-Fulkerson để nâng luồng ϕ
1
.
Xét xích α=(v
0
, v
4
, v
6
, v
3
, v
7
, v
8
). Quá trình đánh dấu từ v
0
đến v
8
để có thể nâng
luồng ϕ
1
lên một đơn vị bằng cách biến đổi luồng tại các cung thuộc xích α được đánh
dấu. Sau đó ta có luồng ϕ
2
.
77
v
1
v
5
v
2
v
3
v
4
v
6
v
7
v
0
v
8
3
4
4
7
4
4
4
4
4
4
4
3
2
2
2
3
4
5
6
5
6
8
5
5
8
6
12
9
11
6
ϕ
v
1
v
5
v
2
v
3
v
4
v
6
v
7
v
0
v
8
3
4
4
7
4
4
4
4
4
4
4
3
2
2
3
3
4
5
6
5
7
8
5
5
8
6
12
9
12
6
ϕ
1
0
+0
+4
−6
+3
+7
v
0
v
4
v
6
v
3
v
7
v
8
7+1
3+1
3−1
2+1
6+1
+3
−6
+7
0
+0
+4
xích α
Xét xích β=(v
0
, v
1
, v
5
, v
2
, v
6
, v
3
, v
7
, v
8
). Quá trình đánh dấu từ v
0
đến v
8
để có thể
nâng luồng ϕ
2
lên một đơn vị bằng cách biến đổi luồng tại các cung thuộc xích β được
đánh dấu. Sau đó ta có luồng ϕ
3
.
78
v
1
v
5
v
2
v
3
v
4
v
6
v
7
v
0
v
8
3
4
4
7
4
4
4
4
4
4
4
3
2
3
4
2
4
5
6
5
8
8
5
5
8
6
12
9
12
7
ϕ
2
0
+0 +1
−5
+2
+7
−6
+3
v
0
v
1
v
2
v
6
v
3
v
8
7+1
3+1
2+1
+3
+7
0
+0
v
5
v
7
+1
−5
+2
3−1
−6
2−1
3+1
7+1
xích β
v
1
v
5
v
2
v
3
v
4
v
6
v
7
v
0
v
8
4
4
4
8
4
4
4
4
4
4
4
2
3
4
4
1
4
5
6
5
8
8
5
5
8
6
12
9
12
8
ϕ
3
Tiếp theo ta chỉ có thể đánh dấu được đỉnh v
0
nên quá trình nâng luồng kết thúc và
ta được giá trị của luồng cực đại là:
3
8
v
ϕ
= 6+12+8 = 26.
Mặt khác, thiết diện nhỏ nhất
−
Γ
(B) với B={v
1
, v
2
, , v
8
} là
−
Γ
(B)={(v
0
,v
1
), (v
0
,v
2
), (v
0
,v
3
), (v
0
,v
4
)}.
5.3. BÀI TOÁN DU LỊCH.
5.3.1. Giới thiệu bài toán:
Một người xuất phát từ một thành phố nào đó muốn tới thăm n−1 thành phố khác,
mỗi thành phố đúng một lần, rồi quay về thành phố ban đầu. Hỏi nên đi theo trình tự nào
để độ dài tổng cộng các đoạn đường đi qua là ngắn nhất (khoảng cách giữa hai thành phố
có thể hiểu là cự ly thông thường hoặc thời gian cần đi hoặc chi phí của hành trình, và
xem như cho trước).
Xét đồ thị đầy đủ G=(V,E), với V={1, 2, , n}, có trọng số với trọng số m
ij
= m(i,j)
có thể khác m
ji
= m(j,i). Như vậy, ta có thể xem G như là một đồ thị có hướng đầy đủ
“mạnh” theo nghĩa với mọi i, j=1, 2, , n, i≠j, luôn có (i,j), (j,i)∈E. Bài toán trở thành tìm
chu trình Hamilton có độ dài ngắn nhất trong G.
Bài toán nổi tiếng này đã có lời giải bằng cách sử dụng phương pháp “nhánh và
cận”.
5.3.2. Phương pháp nhánh và cận: Giả sử trong một tập hữu hạn các phương án của
bài toán, ta phải chọn ra được một phương án tối ưu theo một tiêu chuẩn nào đó (thí dụ
làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất). Ta sẽ tìm cách phân chia tập phương án đang
xét thành hai tập con không giao nhau. Với mỗi tập này, ta sẽ tính “cận dưới” (chặn dưới
đủ tốt) của các giá trị hàm mục tiêu ứng với các phương án trong đó. Mang so sánh hai
cận dưới vừa tính được, ta có thể phán đoán xem tập con nào có nhiều triển vọng chứa
phương án tối ưu và tiếp tục phân chia tập con đó thành hai tập con khác không giao
nhau, lại tính các cận dưới tương ứng Lặp lại quá trình này thì sau một số hữu hạn
bước, cuối cùng sẽ được một phương án tốt, nói chung là tối ưu. Nếu không thì lặp lại quá
trình phân chia để kiểm tra và sau một vài bước, ta sẽ được phương án tối ưu.
Người ta thường mô tả quá trình phân chia đó bằng một “cây có gốc” mà gốc sẽ
tượng trưng cho tập toàn bộ các phương án, còn các đỉnh ở phía dưới lần lượt tượng trưng
cho các tập con trong quá trình “phân nhánh nhị phân”. Vì vậy, phương pháp này mang
tên nhánh và cận.
5.3.3. Cơ sở lý luận của phép toán: Nếu không xác định thành phố xuất phát thì có
n! hành trình, mỗi hành trình ứng với một hoán vị nào đó của tập {1, 2, , n}. Còn nếu
cho trước thành phố xuất phát thì có tất cả là (n−1)! hành trình.
Giả sử h=(π(1), π(2), , π(n), π(1)) (π là một hoán vị) là một hành trình qua các
thành phố π(1), , π(n) theo thứ tự đó rồi quay về π(1) thì hàm mục tiêu
79
v
0
f(h) =
∑
∈
−
=+++
hji
ijnnn
mmmm
),(
)1()()()1()2()1(
ππππππ
,
sẽ biểu thị tổng độ dài đã đi theo hành trình h, trong đó (i,j) ký hiệu một chặng đường của
hành trình, tức là một cặp thành phố kề nhau theo hành trình h.
5.3.4. Ma trận rút gọn: Quá trình tính toán sẽ được thực hiện trên các ma trận suy từ
ma trận trọng số M=(m
ij
) ban đầu bằng những phép biến đổi rút gọn để các số liệu được
đơn giản.
Phép trừ phần tử nhỏ nhất của mỗi dòng (t.ư. cột) vào tất cả các phần tử của dòng
(t.ư. cột) đó được gọi là phép rút gọn dòng (t.ư. cột). Phần tử nhỏ nhất đó được gọi là
hằng số rút gọn dòng (t.ư. cột) đang xét. Ma trận với các phần tử không âm và có ít nhất
một phần tử bằng 0 trên mỗi dòng và mỗi cột được gọi là ma trận rút gọn của ma trận ban
đầu.
Thí dụ 4:
M =
5109
726
534
→
054
504
201
→
M’ =
053
503
200
,
tất nhiên có thể rút gọn cách khác
M =
5109
726
534
→
M’’ =
085
202
010
.
5.3.5. Mệnh đề: Phương án tối ưu xét trên ma trận trọng số ban đầu cũng là phương án
tối ưu của bài toán xét trên ma trận rút gọn và đảo lại.
Chứng minh: Có thể xem việc đi tìm chu trình Hamilton của người du lịch như là một
bài toán vận tải đặc biệt dưới dạng bảng. Như vậy thì trong bảng (ma trận trọng số hoặc
ma trận rút gọn) ta phải có đúng n ô chọn, mỗi ô chọn tượng trưng cho một cặp thành phố
trên hành trình cần tìm, trên mỗi dòng và mỗi cột có đúng một ô chọn. Mỗi hành trình h
80
3
2
5
1
0
0
4 2
0
0
0
5
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét