LỜI NÓI ĐẦU
Khi nghiên cứu cấu trúc đại số, ta biết rằng nhóm, vành, trường là các cấu trúc
cơ bản nhất và nó có ứng dụng rất rộng rãi. Một trong những lớp vành quan trọng
đó chính là lớp vành nửa đơn. "Vành R được gọi là nửa đơn nếu mọi iđêan phải
(trái) đều là hạng tử trực tiếp cuả R
R
(
R
R)"; chẳng hạn, mọi không gian vectơ đều
là nửa đơn.
Có rất nhiều đặc trưng quan trọng của vành nửa đơn được đưa ra như Định lý
Wedderburn - Artin : "Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp của
một số hữu hạn các vành ma trận trên một thể". Liên hệ với căn Jacobson ta có
định lý sau:"Một vành là nửa đơn nếu và chỉ nếu R là vành Artin phải (trái) và căn
Jacobson J = 0". Vấn đề này là một vấn đề quan trọng thu hút nhiều nhà toán học
nghiên cứu. Cũng như Wedderburn, Artin, Jacobson và các nhà toán học khác cùng
với sự quan tâm của mình thì Osofsky cũng đã nghiên cứu về vành nửa đơn này
và đã đưa ra một tính chất quan trọng thông qua lớp R-Môđun đó là:"Vành R là
nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải (trái) cyclic là nội xạ". Tính chất này rất
quan trọng vì trong phạm trù Mod − R, lớp các R-môđun cyclic là dễ "kiểm soát"
nhất vì mọi R-môđun phải cyclic M đều đẳng cấu với R/I, trong đó I là iđêan phải
nào đó của R. Trong quyển sách [7], tác giả T. Y. Lam đã phát biểu Định lý 2.9
gồm bốn mệnh đề tương đương cho vành R như sau:
1. R là nửa đơn trái;
2. Tất cả các R-môđun trái là nội xạ;
3. Tất cả các R-môđun trái hữu hạn sinh đều nội xạ;
4. Tất cả R-môđun trái cyclic là nội xạ.
Tác giả đã trình bày chứng minh các mệnh đề (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4), nhưng đối
3
với mệnh đề (4) ⇒ (1) thì tác giả đã không trình bày trong quyển sách này vì nhiều
lý do hơn nữa nó khá khó.
Vì vậy, khóa luận này sẽ tổng quan và trình bày lại các tính chất, lý thuyết liên
quan đến môđun nội xạ, vành nửa đơn và cuối cùng là Định lý Osofsky, với mục
đích là khi sử dụng Định lý Osofsky cho vành nửa đơn, độc giả có thể đọc từ đầu
đến cuối khóa luận chứ không cần sử dụng một tài liệu nào khác.
Khóa luận gồm hai chương: chương I trình bày về môđun nội xạ, vành nửa đơn,
chương II tập trung nghiên cứu về Định lý Osofsky và một số ví dụ.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên khóa luận này không tránh
khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô giáo và độc giả đóng góp để cho khóa luận
được hoàn chỉnh hơn.
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Bổ đề Zorn
Giả sử A là một tập sắp thứ tự, nếu mỗi tập con sắp thứ tự toàn phần của A
đều có cận trên trong A thì A có phần tử cực đại.
1.2 Dãy khớp
Định nghĩa 1.2.1. Một dãy các R-môđun phải và các R-đồng cấu môđun −→
M
n−1
ϕ
n−1
−−−→ M
n
ϕ
n
−→ M
n+1
được gọi là dãy khớp nếu tại mọi M
n
(không kể hai đầu
mút) thõa mãn điều kiện: Imϕ
n−1
= Kerϕ
n
.
Dãy khớp 0 → X
f
−→ Y
g
−→ Z → 0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu: f đơn cấu, g
toàn cấu, Imf = Kerg.
Dãy khớp ngắn các R-môđun phải 0 → A
f
−→ B
g
−→ C → 0 được gọi là chẻ ra nếu
và chỉ nếu Imf = Kerg là một hạng tử trực tiếp của B.
Ví dụ 1.2.1. A, B là các R-môđun trái, 0 → A
f
−→ A × B
g
−→ B → 0 là chẻ ra vì
Imf = A × {0} = Kerg là hạng tử trực tiếp của A × B.
5
1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp
1.3.1 Tích trực tiếp
Định nghĩa 1.3.1. Cho một họ những R-môđun phải {A
i
}
i∈I
với I = ∅. Khi đó
tích Descartes
i∈I
A
i
= {(a
i
)
i
|a
i
∈ A
i
} cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng
theo thành phần:
(a
i
)
i∈I
+ (b
i
)
i∈I
= (a
i
+ b
i
)
i∈I
,
r(a
i
)
i∈I
= (ra
i
)
i∈I
là một R-môđun phải, gọi là tích trực tiếp của họ {A
i
}
i∈I
.
Trường hợp A
i
= A với mọi i ∈ I ta kí hiệu
i∈I
A
i
= A
I
.
Phép chiếu p
j
:
i∈I
A
i
−→ A
j
là một R-đồng cấu với mọi j ∈ I.
1.3.2 Tổng trực tiếp
Định nghĩa 1.3.2. Họ (a
i
)
i∈I
∈
i∈I
A
i
được gọi là có giá hữu hạn nếu a
i
= 0 tất cả
trừ một số hữu hạn.
Định nghĩa 1.3.3 (Tổng trực tiếp ngoài). Môđun con S của
i∈I
A
i
với S = {(a
i
)
i∈I
∈
i∈I
A
i
|(a
i
)
i∈I
có giá hữu hạn} được gọi là tổng trực tiếp ngoài của họ {A
i
}
i∈I
. Kí hiệu
là:
i∈I
A
i
.
Trường hợp A
i
= A với mọi i ∈ I ta kí hiệu
i∈I
A
i
= A
I
.
Với mỗi j ∈ I, đồng cấu
µ
j
: A
j
−→
i∈I
A
i
,
a
j
−→ (a
i
)
i∈I
= ( 0, a
j
, 0, )
là một phép nhúng.
Khi I hữu hạn thì
i∈I
A
i
=
i∈I
A
i
.
6
Định lý 1.3.1. [1, ĐL 4.2.1] Giả sử M là một R-môđun phải và (M
i
)
i∈I
là họ các
môđun con của M. Xét ánh xạ
α :
i∈I
M
i
−→ M
(m
i
)
i∈I
−→
i∈I
m
i
.
Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
1) α là đẳng cấu.
2) Mỗi phần tử m ∈ M đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng m =
m
i
, m
i
∈ M
i
, trong đó các phần tử (m
i
)
i∈I
có giá hữu hạn.
3) M =
i∈I
M
i
và
i∈I
m
i
= 0 ⇒ m
i
= 0, ∀i ∈ I.
4) M =
i∈I
M
i
và M
i
j∈I,j=i
M
j
= 0, ∀i ∈ I.
Định nghĩa 1.3.4 (Tổng trực tiếp trong). Một R-môđun phải M được gọi là tổng
trực tiếp trong của họ {M
i
}
i∈I
những môđun con của nó thỏa một trong các điều
kiện tương đương của định lý trên.
Chú ý: Do tính chất trong Định lý 1.3.1 từ nay về sau thay cho tổng trực tiếp
trong ta chỉ nói đơn giản là tổng trực tiếp cùng với kí hiệu
i∈I
M
i
.
∗ K là môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại
K
≤ M sao cho K ∩ K
= 0 và K + K
= M.
∗ Với mọi K ≤ M luôn tồn tại một môđun con thỏa mãn một trong hai điều
kiện: K ∩ 0 = 0; K + M = M.
1.4 Căn và đế của vành
Định nghĩa 1.4.1. Cho vành R.
7
(a) Iđêan phải I của vành R được gọi là iđêan phải cực đại nếu I = R và mọi
iđêan phải của R chứa I thực sự đều bằng R. Nói cách khác là không có iđêan phải
nào của R chứa I mà khác I và khác R.
(b) Iđêan phải I của vành R được gọi là iđêan phải cực tiểu nếu I = 0 và mọi
iđêan phải của R chứa trong I khác 0 đều bằng I. Nói cách khác là không có iđêan
phải nào của R chứa trong I mà khác I và khác 0.
Định nghĩa 1.4.2. (a) Giao của tất cả các iđêan phải (trái) cực đại của R là một
iđêan phải của R và được gọi là căn phải (trái) của vành R. Kí hiệu: rad(R
R
)(rad(
R
R)).
(b) Tổng của tất cả các iđêan phải (trái) cực tiểu của R là một iđêan phải (trái)
của R và được gọi là đế phải (trái) của vành R. Kí hiệu: soc(R
R
)(soc(
R
R)).
Mệnh đề 1.4.1. [3, ĐL 9.2.2] Cho A là một iđêan phải của vành R. Khi đó các
điều kiện sau là tương đương:
a) A chứa trong rad(R
R
).
b) Với mọi a ∈ A[1 − a khả nghịch phải trong R].
c) Với mọi a ∈ A[1 − a khả nghịch trong R].
Định lý 1.4.2. [4, ĐL 9.2.4] Với R là vành bất kỳ, ta luôn có:
rad(R
R
) = rad(
R
R).
Từ định lý trên ta sẽ gọi chung căn bên trái và căn bên phải của vành R là căn
Jacobson của vành R và thường kí kiệu là:
J(R) = rad(R
R
) = rad(
R
R) = {r ∈ R|1 − r khả nghịch, ∀r ∈ R}.
8
1.5 Mở rộng cốt yếu và đối cốt yếu
Định nghĩa 1.5.1. ∗ K M được gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M. Kí hiệu:
K
e
M. Có nghĩa là ∀L M; K ∩ L = 0 ⇒ L = 0 (hay ∀L = 0, L M thì
K ∩ L = 0). Lúc đó M được gọi là mở rộng cốt yếu của K.
∗ K M được gọi là đối cốt yếu (hay nhỏ) trong M. Kí hiệu K M. Có nghĩa
là ∀L M; K + L = M ⇒ L = M hay (∀L M thì K + L = M).
∗ Một mở rộng cốt yếu E của R-môđun M được gọi là mở rộng cốt yếu cực đại
của M, nếu mọi mở rộng thực sự E
của E không thể mở rộng cốt yếu của M.
Nhận xét 1.5.1.
i. Mỗi môđun là một mở rộng cốt yếu của chính nó.
ii. M = 0; K
e
M ⇒ K = 0.
iii. K M ⇒ K = M.
iv. E là mở rộng cốt yếu của R-môđun M khi và chỉ khi mỗi phần tử 0 = x ∈
E, ∃a ∈ R để ax ∈ M(ax = 0).
Định nghĩa 1.5.2.
Đơn cấu f : K → M được gọi là cốt yếu nếu Imf
e
M.
Toàn cấu g : M → N được gọi là đối cốt yếu nếu Kerg M.
Ví dụ 1.5.2. Trong vành Z, với n = 0 thì nZ
e
Z, với n = 0 thì 0 Z và khi đó
0 là môđun con đối cốt yếu duy nhất của Z
Z
.
Thật vậy, giả sử A Z
Z
thì khi đó A sẽ có dạng mZ hay A = mZ. Nếu m = 0
thì A = 0. Nếu m = 0 thì tồn tại một số nguyên tố p mà (m; p) = 1, khi đó tồn tại
r, s ∈ Z sao cho mr + ps = 1 ⇒ A + pZ = Z. Mà A Z nên suy ra pZ = Z. Mặt
9
khác, ta có p = 1 ⇒ pZ = Z ⇒ A = 0. Vậy 0 là môđun con đối cốt yếu duy nhất
của Z
Z
.
Mệnh đề 1.5.3. [1, MĐ 2.3] Cho (M
i
)
i∈I
là họ các R-môđun, giả sử với mọi i ∈ I,
E
i
là mở rộng cốt yếu của M
i
. Khi đó
i∈I
E
i
là mở rộng cốt yếu của
i∈I
M
i
.
Chứng minh. Đặt M =
i∈I
M
i
; E =
i∈I
E
i
. Để chứng minh E là mở rộng cốt yếu của
M ta chứng minh với mỗi x ∈ E tồn tại a ∈ R, 0 = ax ∈ M.
Cho x ∈ E; x = (x
1
, , x
n
); x
k
∈ E
i
k
; i
1
, , i
n
∈ I. Vì E
i
1
là mở rộng cốt yếu
của M
i
1
nên ∃a
1
∈ R sao cho 0 = a
1
x
1
∈ M
i
1
. Xét 0 = a
1
x = (a
1
x
1
, , a
1
x
n
) ∈ E.
Nếu a
1
x
1
là thành phần khác 0 duy nhất của a
1
x thì a
1
x ∈ M (điều phải chứng
minh).
Trái lại, giả sử p là số bé nhất sao cho a
1
x
p
= 0 trong dãy a
1
x
2
, , a
1
x
n
. Vì E
i
p
mở rộng cốt yếu của M
i
p
nên tồn tại a
p
∈ R sao cho a
p
a
1
x
p
∈ M
i
p
. Lúc này ta cũng
có a
p
a
1
x
1
∈ M
1
. Nếu a
p
a
1
x = (a
p
a
1
x
1
; a
p
a
1
x
p
) thì đó chính là phần tử khác 0 trong
M mà ta cần tìm. Nếu chưa được tiếp tục chọn số q bé nhất sao cho a
p
a
1
x
q
= 0
trong a
p
a
1
x
p+1
, , a
p
a
1
x
n
. Tiếp tục quá trình trên ta sẽ chọn được a ∈ R sao cho
0 = ax ∈ M, suy ra E là mở rộng cốt yếu của M. Vậy
i∈I
E
i
là mở rộng cốt yếu của
i∈I
M
i
.
1.6 Lũy đẳng và vấn đề linh hóa tử
Định nghĩa 1.6.1. Cho R là một vành.
1. Phần tử e ∈ R được gọi là lũy đẳng nếu e
2
= e.
10
2. Tập {e
1
, e
2
, , e
n
} ⊆ R gọi là hoàn toàn lũy đẳng trực giao từng đôi nếu:
e
i
e
j
=
e
i
nếu i = j
0 nếu i = j
và 1 = e
1
+ e
2
+ + e
n
.
3. Lũy đẳng e ∈ R được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu e = 0 và mỗi cặp e
1
và e
2
lũy đẳng trực giao sao cho e = e
1
+ e
2
kéo theo e
1
= 0 hoặc e
2
= 0.
Mệnh đề 1.6.1. [4, MĐ 3.3.8] Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực tiếp
của R
R
nếu và chỉ nếu tồn tại lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR. Hơn nữa nếu e ∈ R
là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy và (1 − e)R là phần phụ của eR nghĩa là:
R
R
= eR ⊕ (1 − e)R.
Chứng minh. Giả sử R
R
= I ⊕ K, K ≤ R
R
khi đó 1 = e + f với e ∈ I, f ∈ K. Tác
động e vào, khi đó ta có e = e
2
+ef ⇒ e −e
2
= ef. Mặt khác e = e
2
+fe ⇒ e −e
2
=
fe. Vậy e − e
2
= ef = fe ∈ I ∩ K, mà I ∩ K = 0 ⇒ e − e
2
= 0 ⇒ e = e
2
. Từ đó ta
có f = fe + f
2
mà fe = 0 ⇒ f = f
2
.
Với mọi x ∈ I ta có x = ex + x − ex = ex + (1 − e)x ∈ I ⊕ K ngoài ra ta
còn có x = x + 0. Do sự biểu diễn duy nhất nên suy ra x = ex ∈ eR. Vì vậy
I ≤ eR ⇒ I = eR. (1 − e)R ∩ eR = 0 và (1 − e)R là phần phụ của eR nên
R
R
= eR ⊕ (1 − e)R.
Định nghĩa 1.6.2 (Linh hóa tử). Cho M
R
và X ⊆ M. Linh hóa tử trái của X
trong R là:
l
R
(X) = {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ X}.
Cho Y ⊆ R. Linh hóa tử phải của Y trong M là:
r
M
(Y ) = {x ∈ M | ax = 0, ∀a ∈ Y }.
11
Khi X = {x} hay Y = {a}, ta viết l
R
(x) hay r
M
(a). Với những linh hóa tử trên
R, nếu không có gì nhầm lẫn, người ta có thể bỏ kí hiệu R trong l
R
, r
R
, mà chỉ viết
là l, r.
Mệnh đề 1.6.2. [2, MĐ 1.2.3] Cho
R
M, X và Y là các tập con của M và A, B là
các tập con của R. Khi đó
1. X ⊆ Y ⇒ l
R
(X) ≥ l
R
(Y ) và A ⊆ B ⇒ r
M
(A) ≥ r
M
(B).
2. X ⊆ r
M
l
R
(X) và A ⊆ l
R
r
M
(A).
3. l
R
(X) = l
R
r
M
l
R
(X) và r
M
(A) = r
M
l
R
r
M
(A).
1.7 Môđun hữu hạn sinh
Định nghĩa 1.7.1. Một R-môđun trái M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một
tập sinh gồm hữu hạn phần tử. Nói cách khác, M là hữu hạn sinh nếu có các phần
tử nào đó s
1
, s
2
, , s
n
∈ M sao cho M = Rs
1
+ + Rs
n
.
Định lý 1.7.1. [3, ĐL 3.1] Các điều kiện sau là tương đương với môđun M
R
a. M hữu hạn sinh.
b. Với mọi tập f
α
: U
α
−→ M(α ∈ A),với M =
A
Imf
α
, tồn tại một tập hữu
hạn F ⊆ A sao cho M =
F
Imf
α
.
c. Với tập chỉ số (U
α
)
α∈A
và toàn cấu
A
U
α
−→ M −→ 0 tồn tại tập hữu hạn
F ⊆ A và toàn cấu
F
U
α
−→ M −→ 0.
d. Mọi môđun trong Mod-R mà nó sinh ra M thì sinh hữu hạn ra M.
e. Với A là tập nào đó các môđun con của M, nếu
A∈A
A = M thì
F ∈F
F = M
với tập hữu hạn F ∈ A nào đó.
12
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét